- 18 Dicembre 2010
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Parliamo del calcolo algebrico, raggruppandone le funzioni e i metodi per risolvere.
Innanzitutto l'algebra comprende sia numeri positivi che negativi, rispettivamente + a e - a. (a equivale a qualsiasi numero, per esempio 5)
Cosa sono le espressioni letterali? Semplicemente sequenze di operazioni fra numeri rappresentanti in parte con lettere.
Come si risolvono? Bisogna rappresentare in numeri le lettere presenti e poi calcolare l'espressione numerica che si ottiene.
Esempio in breve: 5a - 3b [a= 7; b=10]
5*7 - 3*10 = 35-30 = 5 (*= Moltiplicazione; : = divisione)
Ultime cose da sapere:
• Non si possono avere valori uguali a 0 a denominatori
• Non si possono avere risultati negativi sotto radice quadrata
___________________________________________________
Ora dopo questa parte introduttiva passiamo all'analisi dei monomi.
Che cosa sono? Espressioni letterali che contengono solo moltiplicazioni e divisioni.
Esempio: +4a(2)bc (2= grado del monomio rispetto alla lettera)
Un monomio può essere:
• Intero, se non ci sono lettere come divisori = +4/2 a(3)bc
• Frazionario, se ci sono lettere come divisori = -5 xy/s
Il grado rispetto ad una lettera è l'esponente che figura nel monomio della lettera:
+2/4 a(2)b(3) -> grado rispetto alla lettera a= 2 ; grado rispetto alla lettera b= 3.
Il grado complessivo è il grado più alto che figura.
I monomi possono essere:
• Simili se hanno la stessa parte letterale = 4ab + 7ab
• Uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente = -5b - 3/2b
• Opposti se sono simili e hanno come coefficiente due numeri opposti = +2/3b -2/3b
Adesso proviamo a risolvere un monomio ricordando che se i monomi non sono simili si lasciano invariati:
-1/2ab(2) + 3/4a(2)b(3) + 2/3ab(2) - 5/2a(2)b(3)=
(-1/2 + 2/3)ab(2) + (3/4 + 5/2)a(2)b(3)=
1/6ab(2) - 7/4 a(2)b(3)
Invece adesso la moltiplicazione:
(-7/5a(3)bc)(10/3ac(2) = -14/3 a(4)bc(3)
Scopriamo che i gradi della lettera si addizionano tra di loro.
Quindi la divisione:
(-7/5a(3)bc): (10/3ac(2) = -14/3 a(2)bc(1)
Deduciamo che i gradi questa volta si sottraggono tra di loro.
La potenza invece:
[-1/3ab(2)c(3)]alla 3 = -1/27 a(3)b(6)c(9)
Se la potenza è dispari = -a alla terza = -a(3) ; +a alla terza= -a(3)
Se invece è pari = -a alla seconda= -a(2) ; +a alla seconda = +a(2)
___________________________________________________
Ora passiamo ai polinomi, che cosa sono?
Semplicemente la somma algebrica di monomi non simili tra di loro, che vengono detti termini del polinomio.
•Un polinomio di solo due termini è un binomio, di tre termini trinomio e di quattro termini è un quadrinomio.
•Un polinomio di 5 o superiori termini, non ha nome ma si chiama polinomio di 5 termine, e così via
Può essere intero se tutti i termini sono monomi interi, frazionario se almeno uno è un monomio frazionario.
Il grado dei termini maggiore è il grado complessivo.
Il grado del polinomio rispetto alla lettera è il massimo esponente del termine.
Si definisce polinomio ordinato rispetto alla lettera b:
1/2ab(4)-3b(3) +1/4ab(2)-1/2b+4a(3)
Si definisce polinomio completo rispetto alla lettera b:
-5a(2) + 1/4b + 7/3a(2)b(2)-1/2a(3) -3a(2)b(4)
Un polinomio si può quindi definire:
•Ordinato secondo potenza crescenti o decrescenti di una lettera se gli esponenti si susseguono in ordine crescente o decrescente.
•Completo rispetto a una lettera se figura con tutti gli esponenti da 0 al grado massimo
E anche:
•Omogeneo: se tutti i termini hanno lo stesso grado
Per eseguire l'addizione:
1) Si tolgono le parentesi fra polinomi
2) Si eseguono le somme fra i termini
Esempio:
[-3/2x(2)+5xy+y(2)]+[x(2)-1/2xy-y(2)]-[2xy(2)-3xy-1/2y(2)]=
-3/2x(2)+5xy+y(2)+x(2)-1/2xy-y(2)-2x(2)+3xy+1/2y(2)=
(-3/2+1-2)x(2)+(5-1/2+3)xy+(1-1+1/2)y(2)=
-5/2x(2)+15/2xy+1/2y(2)
Moltiplicazione:
Tra polinomi e monomi: ciascun termine del polinomio per il monomio e si addizionano i prodotti ottenuti
Tra due polinomi: ogni termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo, addizionando i prodotti ottenuti.
Divisione:
Si divide ciascun termine del polinomio per il monomio e poi si addizionano i risultati ottenuti.
Potenza:
Esempio:
(-2ab+3a-2b)alla seconda =
(-2b+3a-2b)(-2ab+3a-2b)=
4a(2)b(2) -6ab(2) +4ab(2) -6a(2)b +9a(2) -6ab +4ab(2) -6ab +4b(2)=
+4a(2)b(2) -12a(2)b+8ab(2)+9a(2)-12ab+4b(2)
Ultime cose da sapere sono i prodotti notevoli:
• Prodotto della somma per la differenza fra due monomi è uguale alla differenza dei quadrati dei singoli monomi
[3ab+5ab(2)][3ab-5ab(2)] = 9a(2)b(2) - 25a(2)b(4)
• Il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo
[3xy+4y(2)]alla seconda = 9x(2)y(2)+24xy(3)+16y(4)
•Il cubo della somma di due monomi è uguale al cubo del primo, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo
[3x+2y]alla terza = 27x(3) +54x(2)y +36xy(2) +8y(3)
____________________________________________________
Questo è tutto e dopo un po' di tempo ecco la fine del topic, spero in un rilievo :ragione:
Segnalate ogni errore "tecnico" grazie!
Fonte: Me,i miei appunti e il mio libro di matematica.
@CarrieBradshaw @Anattup
Innanzitutto l'algebra comprende sia numeri positivi che negativi, rispettivamente + a e - a. (a equivale a qualsiasi numero, per esempio 5)
Cosa sono le espressioni letterali? Semplicemente sequenze di operazioni fra numeri rappresentanti in parte con lettere.
Come si risolvono? Bisogna rappresentare in numeri le lettere presenti e poi calcolare l'espressione numerica che si ottiene.
Esempio in breve: 5a - 3b [a= 7; b=10]
5*7 - 3*10 = 35-30 = 5 (*= Moltiplicazione; : = divisione)
Ultime cose da sapere:
• Non si possono avere valori uguali a 0 a denominatori
• Non si possono avere risultati negativi sotto radice quadrata
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Ora dopo questa parte introduttiva passiamo all'analisi dei monomi.
Che cosa sono? Espressioni letterali che contengono solo moltiplicazioni e divisioni.
Esempio: +4a(2)bc (2= grado del monomio rispetto alla lettera)
Un monomio può essere:
• Intero, se non ci sono lettere come divisori = +4/2 a(3)bc
• Frazionario, se ci sono lettere come divisori = -5 xy/s
Il grado rispetto ad una lettera è l'esponente che figura nel monomio della lettera:
+2/4 a(2)b(3) -> grado rispetto alla lettera a= 2 ; grado rispetto alla lettera b= 3.
Il grado complessivo è il grado più alto che figura.
I monomi possono essere:
• Simili se hanno la stessa parte letterale = 4ab + 7ab
• Uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente = -5b - 3/2b
• Opposti se sono simili e hanno come coefficiente due numeri opposti = +2/3b -2/3b
Adesso proviamo a risolvere un monomio ricordando che se i monomi non sono simili si lasciano invariati:
-1/2ab(2) + 3/4a(2)b(3) + 2/3ab(2) - 5/2a(2)b(3)=
(-1/2 + 2/3)ab(2) + (3/4 + 5/2)a(2)b(3)=
1/6ab(2) - 7/4 a(2)b(3)
Invece adesso la moltiplicazione:
(-7/5a(3)bc)(10/3ac(2) = -14/3 a(4)bc(3)
Scopriamo che i gradi della lettera si addizionano tra di loro.
Quindi la divisione:
(-7/5a(3)bc): (10/3ac(2) = -14/3 a(2)bc(1)
Deduciamo che i gradi questa volta si sottraggono tra di loro.
La potenza invece:
[-1/3ab(2)c(3)]alla 3 = -1/27 a(3)b(6)c(9)
Se la potenza è dispari = -a alla terza = -a(3) ; +a alla terza= -a(3)
Se invece è pari = -a alla seconda= -a(2) ; +a alla seconda = +a(2)
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Ora passiamo ai polinomi, che cosa sono?
Semplicemente la somma algebrica di monomi non simili tra di loro, che vengono detti termini del polinomio.
•Un polinomio di solo due termini è un binomio, di tre termini trinomio e di quattro termini è un quadrinomio.
•Un polinomio di 5 o superiori termini, non ha nome ma si chiama polinomio di 5 termine, e così via
Può essere intero se tutti i termini sono monomi interi, frazionario se almeno uno è un monomio frazionario.
Il grado dei termini maggiore è il grado complessivo.
Il grado del polinomio rispetto alla lettera è il massimo esponente del termine.
Si definisce polinomio ordinato rispetto alla lettera b:
1/2ab(4)-3b(3) +1/4ab(2)-1/2b+4a(3)
Si definisce polinomio completo rispetto alla lettera b:
-5a(2) + 1/4b + 7/3a(2)b(2)-1/2a(3) -3a(2)b(4)
Un polinomio si può quindi definire:
•Ordinato secondo potenza crescenti o decrescenti di una lettera se gli esponenti si susseguono in ordine crescente o decrescente.
•Completo rispetto a una lettera se figura con tutti gli esponenti da 0 al grado massimo
E anche:
•Omogeneo: se tutti i termini hanno lo stesso grado
Per eseguire l'addizione:
1) Si tolgono le parentesi fra polinomi
2) Si eseguono le somme fra i termini
Esempio:
[-3/2x(2)+5xy+y(2)]+[x(2)-1/2xy-y(2)]-[2xy(2)-3xy-1/2y(2)]=
-3/2x(2)+5xy+y(2)+x(2)-1/2xy-y(2)-2x(2)+3xy+1/2y(2)=
(-3/2+1-2)x(2)+(5-1/2+3)xy+(1-1+1/2)y(2)=
-5/2x(2)+15/2xy+1/2y(2)
Moltiplicazione:
Tra polinomi e monomi: ciascun termine del polinomio per il monomio e si addizionano i prodotti ottenuti
Tra due polinomi: ogni termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo, addizionando i prodotti ottenuti.
Divisione:
Si divide ciascun termine del polinomio per il monomio e poi si addizionano i risultati ottenuti.
Potenza:
Esempio:
(-2ab+3a-2b)alla seconda =
(-2b+3a-2b)(-2ab+3a-2b)=
4a(2)b(2) -6ab(2) +4ab(2) -6a(2)b +9a(2) -6ab +4ab(2) -6ab +4b(2)=
+4a(2)b(2) -12a(2)b+8ab(2)+9a(2)-12ab+4b(2)
Ultime cose da sapere sono i prodotti notevoli:
• Prodotto della somma per la differenza fra due monomi è uguale alla differenza dei quadrati dei singoli monomi
[3ab+5ab(2)][3ab-5ab(2)] = 9a(2)b(2) - 25a(2)b(4)
• Il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo
[3xy+4y(2)]alla seconda = 9x(2)y(2)+24xy(3)+16y(4)
•Il cubo della somma di due monomi è uguale al cubo del primo, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo
[3x+2y]alla terza = 27x(3) +54x(2)y +36xy(2) +8y(3)
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Questo è tutto e dopo un po' di tempo ecco la fine del topic, spero in un rilievo :ragione:
Segnalate ogni errore "tecnico" grazie!
Fonte: Me,i miei appunti e il mio libro di matematica.
@CarrieBradshaw @Anattup
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