La geometria nasce come un’attività essenzialmente pratica: Egiziani, Babilonesi ed altri popoli antichi sapevano eseguire misure sul terreno, effettuare rilievi topografici e risolvere semplici problemi. Anche i Greci conoscevano questa arte pratica, ma come è ben noto i filosofi greci non consideravano le arti pratiche degne di molta considerazione. La loro grande scoperta fu che la geometria poteva essere considerata anche da un punto di vista teorico e ciò si rivelò di estrema importanza per la nascita della matematica.
Inizialmente Pitagora ed altri filosofi greci cominciarono ad elaborare dei concetti astratti (punto = ciò che non ha parti, linea = lunghezza senza larghezza, superficie = lunghezza e larghezza ma con spessore nullo). Di seguito le verità riguardanti i punti, le linee e le superfici furono organizzate in scala gerarchica, in maniera tale che le verità meno evidenti fossero la conseguenza logica di quelle più semplici.
Euclide nella sua famosa opera, Gli Elementi, sintetizzò in maniera sistematica tutte le conoscenze teoriche della geometria greca. Per duemila anni questo testo rimase insuperato e venne considerato come un modello esemplare per la formulazione di una qualunque scienza teorica. Euclide introduce inizialmente postulati, assiomi e definizioni. Successivamente ottiene dei teoremi mediante deduzione logica. I cinque postulati fondamentali sono:
1) Fra due punti qualsiasi si può tracciare una linea retta;
2) Ogni linea retta finita può essere prolungata indefinitamente;
3) Assegnati un punto qualunque e una distanza qualunque è possibile tracciare una circonferenza avente il punto dato come centro e la distanza come raggio;
4) Tutti gli angoli retti sono uguali fra di loro;
5) Se due linee rette sono tagliate mediante una terza e formano da una stessa parte angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti e se sono prolungate da tale parte allora esse si incontrano.
Questi postulati sono presentati senza prova, perché Euclide li considera evidenti. Essi formano la base del suo sistema e da essi vengono dedotti tutti i teoremi del sistema. La verità dei teoremi del sistema non dipende quindi solamente dai principi della logica ma anche dalla verità dei postulati. Euclide enuncia anche un gruppo di assiomi riguardanti l’idea di quantità in generale. Per esempio il primo assioma afferma: due cose uguali ad una terza sono uguali fra di loro. Probabilmente Euclide credeva che gli assiomi di questo tipo fossero utili non solamente alla geometria ma anche alle altre scienze in cui si tratta della quantità. In realtà la distinzione fra assioma e postulato è abbastanza ambigua tanto è vero che nella matematica contemporanea assioma e postulato sono essenzialmente sinonimi.
Le definizioni di Euclide offrono delle spiegazioni dei termini geometrici usati nelle frasi del sistema. Per esempio egli definisce in maniera molto vaga il punto come ciò che non ha parti. Al contrario il cerchio è definito in maniera soddisfacente come figura piana contenuta entro una linea, tale che tutte le rette che toccano questa linea (la circonferenza), passando per un certo punto interno alla figura (il centro), staccano segmenti uguali (i diametri) all’interno della linea. La differenza fra queste due definizioni ci fa capire che nella geometria euclidea si possono distinguere dei termini primitivi e dei termini non primitivi. I termini primitivi non sono definiti all’interno del sistema e le eventuali spiegazioni non formali di questi termini in realtà non appartengono al sistema stesso (per esempio il punto). Al contrario i termini non primitivi hanno nel sistema delle definizioni esplicite tale che questi termini potrebbero in linea di principio essere eliminate da ogni frase del sistema (per esempio il cerchio). I termini non primitivi vengono introdotti solamente allo scopo di abbreviare la formulazione dei postulati e dei teoremi.
Il metodo euclideo fu ritenuto importante nell’antica Grecia, perché ci indica che quando si ritiene che una certa ipotesi sia vera, allora dobbiamo cercare di dedurla dai postulati. Con questo metodo è stata possibile una grande estensione della geometria e si può arrivare a teoremi molto complessi e poco evidenti. Con il metodo euclideo, inoltre, la conoscenza geometrica poteva diventare la più sicura possibile. All’inizio le diverse verità sulle linee e le superfici erano conosciute separatamente e fra di loro non esisteva un collegamento. Il metodo euclideo della deduzione logica permetteva di basare tutta la conoscenza geometrica sui postulati, in maniera tale che se i postulati sono veri, allora tutti i teoremi dedotti da essi saranno anche assolutamente certi.
Nella filosofia di Platone una posizione molto importante viene assegnata alla geometria, ritenuta l’espressione di una conoscenza vera di un mondo non fisico e non mentale, un mondo oggettivo delle forme eterne che la facoltà della ragione può conoscere a priori. Platone sostiene che questa conoscenza è di grande valore perché essa tratta degli oggetti che non cambiano mai e che hanno una natura assolutamente precisa, senza il carattere vago ed ambiguo tipico degli oggetti fisici. Chi vuol diventare filosofo deve consacrarsi allo studio della geometria, perché questo studio offre quella disciplina che gli permetterà di vincere le sue cattive inclinazioni e di addestrarsi nell’attività del pensiero astratto.
La descrizione delle caratteristiche dello spazio fisico mediante la geometria euclidea rimase senza alternative fino all’Ottocento ed inoltre Kant, alla fine del Settecento, pose la geometria euclidea come una delle basi del suo sistema filosofico. Secondo Kant, la nostra mente può conoscere scientificamente il mondo solo tramite proprie categorie concettuali, come il principio di causa ed effetto, ed è così in grado di organizzare i fenomeni naturali che percepiamo attraverso le impressioni sensoriali, anche se non possiamo mai arrivare alla conoscenza dell’essenza di una cosa (denominata noumeno). Lo spazio non è una caratteristica esterna del mondo fisico, ma è una caratteristica della mente umana per mezzo della quale le percezioni sensoriali vengono combinate in un sistema ordinato. La geometria euclidea viene considerata come una conoscenza sintetica a priori, universale e necessaria, cioè come una categoria del pensiero, vera a prescindere dall’esperienza.
Kant condivide l’opinione di Platone che la geometria euclidea fornisca una conoscenza a priori, ma rigetta la tesi che essa descriva un mondo oggettivo indipendente da noi. Se la geometria trattasse di un mondo indipendente non potremmo sapere se le nostre idee di esso siano vere e dunque non saremmo capaci di conoscerlo. Kant sostiene che la geometria così come l’aritmetica descrivono le forme della sensibilità umana, perché è la natura del nostro tipo di mente che ci permette di percepire solamente cose spazio-temporali. Ogni cosa di cui possiamo avere esperienza sensibile deve presentarsi a noi nella forma spazio-temporale. Dato che lo spazio ed il tempo sono aspetti della mente umana e non del mondo fisico, Kant crede che sia possibile avere conoscenza a priori di essi. Il mondo sensibile ha necessariamente un carattere spaziale e la sua struttura spaziale è strettamente euclidea. La filosofia di Kant riguardante lo spazio può essere così sintetizzata:
1) tutti i postulati di Euclide sono veri e dunque ogni proposizione contraddittoria ad essa è falsa;
2) ogni postulato o teorema euclideo è tale che noi possiamo conoscere a priori che esso è vero;
3) lo spazio è una entità ideale cioè le cose in se stesse non hanno la grandezza, la posizione od un qualunque altro carattere spaziale, perché lo spazio appartiene puramente al modo in cui la mente umana reagisce alle cose in se stesse (questa affermazione è una parte dell’idealismo trascendentale di Kant);
4) è possibile una intuizione pura dello spazio, cioè la nostra conoscenza delle verità geometriche risulta dalla costruzione mentale che la facoltà dell’immaginazione pura esegue nel campo dell’intuizione pura.
In ogni caso le tesi più importanti sono le prime due perché Kant per giustificare le tesi 3) e 4) ricorre appunto alle prime due.
Leggetela tutta :punizione:
Inizialmente Pitagora ed altri filosofi greci cominciarono ad elaborare dei concetti astratti (punto = ciò che non ha parti, linea = lunghezza senza larghezza, superficie = lunghezza e larghezza ma con spessore nullo). Di seguito le verità riguardanti i punti, le linee e le superfici furono organizzate in scala gerarchica, in maniera tale che le verità meno evidenti fossero la conseguenza logica di quelle più semplici.
Euclide nella sua famosa opera, Gli Elementi, sintetizzò in maniera sistematica tutte le conoscenze teoriche della geometria greca. Per duemila anni questo testo rimase insuperato e venne considerato come un modello esemplare per la formulazione di una qualunque scienza teorica. Euclide introduce inizialmente postulati, assiomi e definizioni. Successivamente ottiene dei teoremi mediante deduzione logica. I cinque postulati fondamentali sono:
1) Fra due punti qualsiasi si può tracciare una linea retta;
2) Ogni linea retta finita può essere prolungata indefinitamente;
3) Assegnati un punto qualunque e una distanza qualunque è possibile tracciare una circonferenza avente il punto dato come centro e la distanza come raggio;
4) Tutti gli angoli retti sono uguali fra di loro;
5) Se due linee rette sono tagliate mediante una terza e formano da una stessa parte angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti e se sono prolungate da tale parte allora esse si incontrano.
Questi postulati sono presentati senza prova, perché Euclide li considera evidenti. Essi formano la base del suo sistema e da essi vengono dedotti tutti i teoremi del sistema. La verità dei teoremi del sistema non dipende quindi solamente dai principi della logica ma anche dalla verità dei postulati. Euclide enuncia anche un gruppo di assiomi riguardanti l’idea di quantità in generale. Per esempio il primo assioma afferma: due cose uguali ad una terza sono uguali fra di loro. Probabilmente Euclide credeva che gli assiomi di questo tipo fossero utili non solamente alla geometria ma anche alle altre scienze in cui si tratta della quantità. In realtà la distinzione fra assioma e postulato è abbastanza ambigua tanto è vero che nella matematica contemporanea assioma e postulato sono essenzialmente sinonimi.
Le definizioni di Euclide offrono delle spiegazioni dei termini geometrici usati nelle frasi del sistema. Per esempio egli definisce in maniera molto vaga il punto come ciò che non ha parti. Al contrario il cerchio è definito in maniera soddisfacente come figura piana contenuta entro una linea, tale che tutte le rette che toccano questa linea (la circonferenza), passando per un certo punto interno alla figura (il centro), staccano segmenti uguali (i diametri) all’interno della linea. La differenza fra queste due definizioni ci fa capire che nella geometria euclidea si possono distinguere dei termini primitivi e dei termini non primitivi. I termini primitivi non sono definiti all’interno del sistema e le eventuali spiegazioni non formali di questi termini in realtà non appartengono al sistema stesso (per esempio il punto). Al contrario i termini non primitivi hanno nel sistema delle definizioni esplicite tale che questi termini potrebbero in linea di principio essere eliminate da ogni frase del sistema (per esempio il cerchio). I termini non primitivi vengono introdotti solamente allo scopo di abbreviare la formulazione dei postulati e dei teoremi.
Il metodo euclideo fu ritenuto importante nell’antica Grecia, perché ci indica che quando si ritiene che una certa ipotesi sia vera, allora dobbiamo cercare di dedurla dai postulati. Con questo metodo è stata possibile una grande estensione della geometria e si può arrivare a teoremi molto complessi e poco evidenti. Con il metodo euclideo, inoltre, la conoscenza geometrica poteva diventare la più sicura possibile. All’inizio le diverse verità sulle linee e le superfici erano conosciute separatamente e fra di loro non esisteva un collegamento. Il metodo euclideo della deduzione logica permetteva di basare tutta la conoscenza geometrica sui postulati, in maniera tale che se i postulati sono veri, allora tutti i teoremi dedotti da essi saranno anche assolutamente certi.
Nella filosofia di Platone una posizione molto importante viene assegnata alla geometria, ritenuta l’espressione di una conoscenza vera di un mondo non fisico e non mentale, un mondo oggettivo delle forme eterne che la facoltà della ragione può conoscere a priori. Platone sostiene che questa conoscenza è di grande valore perché essa tratta degli oggetti che non cambiano mai e che hanno una natura assolutamente precisa, senza il carattere vago ed ambiguo tipico degli oggetti fisici. Chi vuol diventare filosofo deve consacrarsi allo studio della geometria, perché questo studio offre quella disciplina che gli permetterà di vincere le sue cattive inclinazioni e di addestrarsi nell’attività del pensiero astratto.
La descrizione delle caratteristiche dello spazio fisico mediante la geometria euclidea rimase senza alternative fino all’Ottocento ed inoltre Kant, alla fine del Settecento, pose la geometria euclidea come una delle basi del suo sistema filosofico. Secondo Kant, la nostra mente può conoscere scientificamente il mondo solo tramite proprie categorie concettuali, come il principio di causa ed effetto, ed è così in grado di organizzare i fenomeni naturali che percepiamo attraverso le impressioni sensoriali, anche se non possiamo mai arrivare alla conoscenza dell’essenza di una cosa (denominata noumeno). Lo spazio non è una caratteristica esterna del mondo fisico, ma è una caratteristica della mente umana per mezzo della quale le percezioni sensoriali vengono combinate in un sistema ordinato. La geometria euclidea viene considerata come una conoscenza sintetica a priori, universale e necessaria, cioè come una categoria del pensiero, vera a prescindere dall’esperienza.
Kant condivide l’opinione di Platone che la geometria euclidea fornisca una conoscenza a priori, ma rigetta la tesi che essa descriva un mondo oggettivo indipendente da noi. Se la geometria trattasse di un mondo indipendente non potremmo sapere se le nostre idee di esso siano vere e dunque non saremmo capaci di conoscerlo. Kant sostiene che la geometria così come l’aritmetica descrivono le forme della sensibilità umana, perché è la natura del nostro tipo di mente che ci permette di percepire solamente cose spazio-temporali. Ogni cosa di cui possiamo avere esperienza sensibile deve presentarsi a noi nella forma spazio-temporale. Dato che lo spazio ed il tempo sono aspetti della mente umana e non del mondo fisico, Kant crede che sia possibile avere conoscenza a priori di essi. Il mondo sensibile ha necessariamente un carattere spaziale e la sua struttura spaziale è strettamente euclidea. La filosofia di Kant riguardante lo spazio può essere così sintetizzata:
1) tutti i postulati di Euclide sono veri e dunque ogni proposizione contraddittoria ad essa è falsa;
2) ogni postulato o teorema euclideo è tale che noi possiamo conoscere a priori che esso è vero;
3) lo spazio è una entità ideale cioè le cose in se stesse non hanno la grandezza, la posizione od un qualunque altro carattere spaziale, perché lo spazio appartiene puramente al modo in cui la mente umana reagisce alle cose in se stesse (questa affermazione è una parte dell’idealismo trascendentale di Kant);
4) è possibile una intuizione pura dello spazio, cioè la nostra conoscenza delle verità geometriche risulta dalla costruzione mentale che la facoltà dell’immaginazione pura esegue nel campo dell’intuizione pura.
In ogni caso le tesi più importanti sono le prime due perché Kant per giustificare le tesi 3) e 4) ricorre appunto alle prime due.
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