La scomposizione è un modo ,come dice la parola stessa , per scomporre qualcosa anche per semplificare il calcolo , ma sopratutto per necessità.
Di scomponibile avrai di certo studiato i numeri dell' insieme N (Naturali).
Prima cosa , saper scomporre in fattori è un requisito indispensabile per poter introdurre le operazioni con le frazioni algebriche.
Vi sono principalmente 4 tecniche di scomposizione, ma vi è anche una quinta meno usata , adoperata come metodo più semplice dell'applicazione di Ruffuni .
Le tecniche sono:
1. Raccoglimento a fattor comune
2.Raccoglimento a fattor parziale
3.Riconoscimento di prodotti notevoli
(A+B)(A-B)=A²-B²
Ma per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza possiamo leggere l'uguaglianza in senso inverso trovando così una nuova regola di scomposizione in fattori
A²-B²=(A+B)(A-B)
Per effettuare correttamente questa scomposizione è necessario anzitutto riconoscere le basi a, b dei due quadrati che possono essere monomi, ma anche polinomi.
Controlla sempre che si tratti davvero di una differenza, perché la somma di quadrati non è mai scomponibile in fattori.
----------------
(A + B)²=A² + 2AB + B²
Ma per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza possiamo leggere l'uguaglianza in senso inverso trovando così una nuova regola di scomposizione in fattori:
A² + 2AB + B² = (A + B)²
Per riconoscere se un trinomio è lo sviluppo del quadrato di un binomio occorre:
I due quadrati devono essere sempre positivi
Il doppio prodotto può essere invece positivo o negativo. Nel primo caso si tratterà del quadrato della somma di due monomi nel secondo della loro differenza
-------------------
(A + B)*3=A*3+3A²B+3AB²+B*3
Ma per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza possiamo leggere l'uguaglianza in senso inverso trovando così una nuova regola di scomposizione in fattori:
A*3+3A2B+3AB2+B*3=(A + B)*3
Per riconoscere se un quadrinomio è lo sviluppo del cubo di un binomio occorre:
4.Scomposizione con Teorema di Ruffini
5.Trinomio di secondo grado
Di scomponibile avrai di certo studiato i numeri dell' insieme N (Naturali).
Prima cosa , saper scomporre in fattori è un requisito indispensabile per poter introdurre le operazioni con le frazioni algebriche.
Vi sono principalmente 4 tecniche di scomposizione, ma vi è anche una quinta meno usata , adoperata come metodo più semplice dell'applicazione di Ruffuni .
Le tecniche sono:
1. Raccoglimento a fattor comune
Questa scomposizione ha la precedenza sulle altre. Cioè tutte le volte che si scompone in fattori un polinomio, per prima cosa occorre vedere se vi sono fattori in comune.
Occorre individuare un fattore presente in tutti i termini del polinomio e metterlo in evidenza. Tale fattore comune non è altro che il M.C.D. tra i tra i monomi che formano il polinomio.
Esempio:
15α*3 - 12α² + 6α
si nota subito che i fattori "3 e α" sono presenti in tutti i termini del polinomio allora si può scrivere
3α(5α² - 4α +2)
In pratica 3α è presente 5α² volte in 15α*3, 3α è presente -4α volte in 12α² e 3α è presente +2 volte in 6α)
[OT]NOTA BENE:
1-Visto che di solito operiamo in R il coefficiente che si può mettere in evidenza è qualunque ed il suo segno può essere positivo o negativo.
2- Un errore comune che si commette è tralasciare il termine 1 quando il fattore che si raccoglie coincide con uno dei termini del polinomio. [/OT]
Occorre individuare un fattore presente in tutti i termini del polinomio e metterlo in evidenza. Tale fattore comune non è altro che il M.C.D. tra i tra i monomi che formano il polinomio.
Esempio:
15α*3 - 12α² + 6α
si nota subito che i fattori "3 e α" sono presenti in tutti i termini del polinomio allora si può scrivere
3α(5α² - 4α +2)
In pratica 3α è presente 5α² volte in 15α*3, 3α è presente -4α volte in 12α² e 3α è presente +2 volte in 6α)
[OT]NOTA BENE:
1-Visto che di solito operiamo in R il coefficiente che si può mettere in evidenza è qualunque ed il suo segno può essere positivo o negativo.
2- Un errore comune che si commette è tralasciare il termine 1 quando il fattore che si raccoglie coincide con uno dei termini del polinomio. [/OT]
2.Raccoglimento a fattor parziale
Volendo scomporre il seguente polinomio
αx + bx + αy + by
notiamo che non è applicabile il metodo precedente. Infatti il M.C.D. tra i quattro monomi che formano il polinomio è 1.
É però possibile operare nel seguente modo:
αx + bx + αy + by
notiamo che non è applicabile il metodo precedente. Infatti il M.C.D. tra i quattro monomi che formano il polinomio è 1.
É però possibile operare nel seguente modo:
- raccogliere x solo fra i primi due termini ottenendo x(a+b)
- raccogliere y solo fra gli ultimi due termini ottenendo y(a+b)
Si ottiene x(a+b) + y(a+b)
Non abbiamo ancora ottenuto una scomposizione in fattori del polinomio dato
Abbiamo però individuato un fattore comune, (a+b), che è possibile raccogliere a fattore comune. Ecco allora il risultato finale: (a+b)(x+y)
In un raccoglimento a fattore parziale è sempre possibile percorrere due strade diverse che però conducono ovviamente allo stesso risultato finale. In questo caso, per esempio, si poteva anche procedere raccogliendo a nel primo e terzo e la b nel secondo e quarto.
3.Riconoscimento di prodotti notevoli
- Differenza di quadrati:
(A+B)(A-B)=A²-B²
Ma per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza possiamo leggere l'uguaglianza in senso inverso trovando così una nuova regola di scomposizione in fattori
A²-B²=(A+B)(A-B)
Per effettuare correttamente questa scomposizione è necessario anzitutto riconoscere le basi a, b dei due quadrati che possono essere monomi, ma anche polinomi.
Controlla sempre che si tratti davvero di una differenza, perché la somma di quadrati non è mai scomponibile in fattori.
----------------
- Quadrato del binomio
(A + B)²=A² + 2AB + B²
Ma per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza possiamo leggere l'uguaglianza in senso inverso trovando così una nuova regola di scomposizione in fattori:
A² + 2AB + B² = (A + B)²
Per riconoscere se un trinomio è lo sviluppo del quadrato di un binomio occorre:
- individuare i quadrati di due monomi e calcolare le relative basi
- controllare che il terzo monomio sia effettivamente il loro doppio prodotto
I due quadrati devono essere sempre positivi
Il doppio prodotto può essere invece positivo o negativo. Nel primo caso si tratterà del quadrato della somma di due monomi nel secondo della loro differenza
-------------------
- Cubo del binomio
(A + B)*3=A*3+3A²B+3AB²+B*3
Ma per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza possiamo leggere l'uguaglianza in senso inverso trovando così una nuova regola di scomposizione in fattori:
A*3+3A2B+3AB2+B*3=(A + B)*3
Per riconoscere se un quadrinomio è lo sviluppo del cubo di un binomio occorre:
- individuare i due cubi di monomi e calcolarne le relative basi
- controllare che gli altri due monomi siano sia effettivamente i tripli prodotti
4.Scomposizione con Teorema di Ruffini
E' una scomposizione che si puo' sempre applicare a tutti i polinomi ordinati scomponibili,su cui non sia possibile operare il raccoglimento a fattor comune totale ha pero' il difetto di essere lunga e complicata, quindi, quando possibile, cercheremo delle abbreviazioni.
Pero' questa ti fornisce un metodo generale per operare sempre la scomposizione sui polinomi ordinati, se cio' non e' possibile diremo che il polinomio non e' scomponibile.
onsideriamo
x²+5x+6
il problema che ci poniamo e' trovare due polinomi che moltiplicati mi diano come risultato il polinomio di partenza.
Si pensa che il polinomio abbia come fattore un fattore del tipo (x-a) in cui a e' un numero
Quindi possibili fattori potranno essere:
(x-1) ; (x+1); (x-2); (x+2); ecc..
Si tratta di vedere se questi sono effettivamente fattori oppure no. Ricordando che un termine e' fattore di un secondo termine se il primo divide esattamente il secondo (cioe' il resto della divisione vale 0) dovremo fare
(x²+5x+6): (x-1) e calcolarne il resto. se viene 0 e' un fattore altrimenti proveremo (x²+5x+6): (x+1) finche' non troviamo il resto 0
Per trovare il resto possiamo applicare il teorema di Ruffini quindi troviamo i possibili resti
Troviamo il resto dividendo (x²+5x+6)per (x-1)
P(1) = 1²+5(1)+6 = 1+5+6=12 diverso da 0
proviamo ora (x+1)
P(-1) = (-1)2+5(-1)+6 = 1-5+6 = 2 diverso da 0
..ecc.
per (x+2)
P(-2)=(-2)²+5(-2)+6 = 4-10+6 = 0 allora (x+2) e' un fattore
Quindi (x²+5x+6) = (x+2)·(-----)
Per trovare cos'e' quel (-----) facciamo un ragionamento del genere:
4 è un fattore di 20 , quindi 20 = 4·(-----) , per arrivarci cosa faccio? 20:4 quindi ho 5 (il secondo fattore)
Facciamo quindi nello stesso modo: per trovare l'altro fattore eseguiamo
(x²+5x+6): (x+2) utilizzando la divisione di Ruffini
-- |1 5 |6
--2| -2|-6
-- |1 3 |
quindi (x2+5x+6) = (x+2)(x+3)
Pero' questa ti fornisce un metodo generale per operare sempre la scomposizione sui polinomi ordinati, se cio' non e' possibile diremo che il polinomio non e' scomponibile.
onsideriamo
x²+5x+6
il problema che ci poniamo e' trovare due polinomi che moltiplicati mi diano come risultato il polinomio di partenza.
Si pensa che il polinomio abbia come fattore un fattore del tipo (x-a) in cui a e' un numero
Quindi possibili fattori potranno essere:
(x-1) ; (x+1); (x-2); (x+2); ecc..
Si tratta di vedere se questi sono effettivamente fattori oppure no. Ricordando che un termine e' fattore di un secondo termine se il primo divide esattamente il secondo (cioe' il resto della divisione vale 0) dovremo fare
(x²+5x+6): (x-1) e calcolarne il resto. se viene 0 e' un fattore altrimenti proveremo (x²+5x+6): (x+1) finche' non troviamo il resto 0
Per trovare il resto possiamo applicare il teorema di Ruffini quindi troviamo i possibili resti
Troviamo il resto dividendo (x²+5x+6)per (x-1)
P(1) = 1²+5(1)+6 = 1+5+6=12 diverso da 0
proviamo ora (x+1)
P(-1) = (-1)2+5(-1)+6 = 1-5+6 = 2 diverso da 0
..ecc.
per (x+2)
P(-2)=(-2)²+5(-2)+6 = 4-10+6 = 0 allora (x+2) e' un fattore
Quindi (x²+5x+6) = (x+2)·(-----)
Per trovare cos'e' quel (-----) facciamo un ragionamento del genere:
4 è un fattore di 20 , quindi 20 = 4·(-----) , per arrivarci cosa faccio? 20:4 quindi ho 5 (il secondo fattore)
Facciamo quindi nello stesso modo: per trovare l'altro fattore eseguiamo
(x²+5x+6): (x+2) utilizzando la divisione di Ruffini
-- |1 5 |6
--2| -2|-6
-- |1 3 |
quindi (x2+5x+6) = (x+2)(x+3)
5.Trinomio di secondo grado
Detto anche come "Somma e Prodotto" , il trinomio di secondo grado è un modo per velocizzare e semplificare l'uso della scomposizione con il metodo Ruffini , ma che non sempre è utilizzabile infatti la regola vale quando i numeri sono numeri reali.
Non sempre però tale regola è di facile applicazione per cui ci limiteremo ad applicarla nei casi semplici quando vi sono due numeri interi. Chiamato "Somma e Prodotto" poiché i due numeri del Trinomio , il primo è Somma e il secondo è Prodotto dei due numeri dati quindi avendo:
x²+5x+6 ; 5 è a+b (2+3); 6 è ab(2*3)
Quindi individuare i due numeri a,b tali che : a+b =5 ; a*b =6 , poi scrivere il prodotto dei due binomi.
x²+5x+6 = (x+2)(x+3)
Non sempre però tale regola è di facile applicazione per cui ci limiteremo ad applicarla nei casi semplici quando vi sono due numeri interi. Chiamato "Somma e Prodotto" poiché i due numeri del Trinomio , il primo è Somma e il secondo è Prodotto dei due numeri dati quindi avendo:
x²+5x+6 ; 5 è a+b (2+3); 6 è ab(2*3)
Quindi individuare i due numeri a,b tali che : a+b =5 ; a*b =6 , poi scrivere il prodotto dei due binomi.
x²+5x+6 = (x+2)(x+3)
Lucky78
@Cyntax ecco a te
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